Fuzzy Set und Fuzzy Logic

Einige Konzepte

Computer wurden ursprünglich nicht entwickelt um "unpräzise" Daten zu verarbeiten. Das menschliche logische Denken nutzt jedoch insbesondere unpräzise Informationen und Ungewißheiten um Entscheidungen zu treffen. Mitte der 60er Jahre führten diese Diskrepanzen zur Idee der Fuzzy Theorie (fuzzy = unscharf). In der Fuzzy Logik ist die strenge Boolesche Logik, die nur 2 Zustände (wahr oder falsch) besitzt, erweitert worden, um Information mit teilweiser Wahrheit zu verarbeiten, d.h. Wahrscheinlichkeitswerte zwischen absolut wahr und absolut falsch. Diese Methode ermöglicht somit die Unsicherheit bzw. Ungewißheit mathematisch darzustellen und zu behandeln.

In der konventionellen Mengenlehre (set theory) ist ein Element entweder Teil einer Menge (Sets) oder nicht; es sei x eine Menge aller realer Zahlen zwischen 0 und 6, d.h. x=[0,6] und A eine Teilmenge der Zahlen zwischen 2 und 4 (A=[2,4]. Um die Information zu bekommen, welche Teile von X zu A gehören, wird eine Zugehörigkeitsfunktion eingeführt. Sie ordnet den Wert n(x)=1 jedem Element von A zu und einen Wert n(x)=0 für die Elemente von X die nicht in A sind.

Crisp-Zugehörigkeitsfunktion

Zugehörigkeitsfunktion für die scharf abgegrenzte "crsip" Menge A[2,4]

Eine herkömmliche Menge, welche Teile enthält die genaue diese Eigenschaft ihrer Zugehörigkeit erfüllt, wird als scharf abgegrenzte "crsip" Menge bezeichnet.
Sollen Objekte charakterisiert werden, die durch unscharfe (fuzzy) Aussagen beschrieben werden, wie z.B. "Zahlen nahe bei 3", ist eine Zugehörigkeitsfunktion notwendig, die diese Nähe zu 3 kennzeichnet. Eine entsprechende Zugehörigkeitsfunktion könnte folgendermaßen aussehen:

Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion

m(x) hat seinen maximalen Wert bei m(x)=1 für x=3. Je größer die Distanz von x zu 3 wird, desto kleiner ist der Wert für m(x) bis das Minimum erreicht wird. m(x)=0 für Distanzen von x zu 3 die etwas größer sind als 2, d.h. x>5 bzw. x<1.

Eine wichtige Eigenschaft von unscharfen Mengen (Fuzzy Sets) ist dessen Ausprägung (Kardinalität). Während für scharfe Mengen die Kardinalität einfach die Zahl der Elemente in der Menge ist, gibt die Kardinalität eines Fuzzy Sets A, CardA, die Summe der Werte der Zugehörigkeitsfunktion von A an:

Anwendungen:

Die Fuzzy Logic und die Fuzzy Set-Theorie wird in vielen Gebieten der Chemie eingesetzt. Die Anwendungen erstrecken sich von der Komponenten-Identifikation und Spektren Bibliothekssuche bis hin zur Fuzzy-Mustererkennung oder der Kalibrierungen analytischer Methoden.

BMBF-Leitprojekt Vernetztes Studium - Chemie